Question

3．已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx=的单调递减区间为（-$\frac{1}{3}$，1），
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）≥k²+7k在区间[-2，2]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，将-$\frac{1}{3}$，1代入f′（x）=0，得到方程组，解出a，b的值即可；
（2）先求出函数f（x）的单调区间，问题转化为k²+7k≤-10，解出即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，
令f′（x）=0，则-$\frac{1}{3}$，1是方程f′（x）=0的两个根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}+2a+2b=0}\\{3-6a+2b=0}\end{array}\right.$
解得：a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得：f（x）=x³-x²-x，
且f（x）在[-2，-$\frac{1}{3}$），（1，2]递增，在（-$\frac{1}{3}$，1）递减，
又f（-2）=-10，f（1）=-1，
若不等式f（x）≥k²+7k在区间[-2，2]上恒成立，
只需k²+7k≤-10即可，
解得：-5≤k≤-2．

点评 本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是一道综合题．