Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，下列命题：（1）方程f[f（x）]=x一定有实数根；
（2）若a＞0，则b²-2b-4ac+1＜0成立；（3）若a＜0，则必存在实数x₀，使f[f（x₀）]＞-1（4）若a=b=c，则不等式b＞

1

2

成立．其中，正确命题的序号是

 

．（把你认为正确的命题的所有序号都填上）

Answer 1

分析：本题考查的是二次函数问题．在解答时，可以逐一进行判断．
（1）由于方程f（x）=x无实数根，∴不存在f（x）使得f[f（x）]=x成立，由此可以判断出对错；
（2）利用数形结合和判别式已解答；
（3）特值法即可解答；
（4）利用判别式结合条件即可解答．

解答：解：由题意可知：方程ax²+（b-1）x+c=0无实根，则△=（b-1）²-4ac＜0即b²-2b-4ac+1＜0．
（1）由于方程f（x）=x无实数根，∴不存在f（x）使得f[f（x）]=x成立，故此命题错误；（2）由条件易知成立；
（3）取a=-1、b=0、c=-1，则f[f（x）]=-（x²+1）²-1≤-1，所以次命题不成立；（4）由条件若a=b=c结合b²-2b-4ac+1＜0，可知b＞

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2

．
故答案为：（2）（4）．

点评：本题考查的是二次函数问题．在解答时充分体现了数形结合的思想、函数与方程的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会与反思．