Question

在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=

13

，SB=

29

．
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：建系，写出有关点的坐标，B，C，s，（1）要证SC⊥BC；只要证EF⊥面PAB，只要证）

SC

•

CB

=0即可；
（2）要求异面直线SC与AB所成的角的余弦值，只要求

SC

与

AB

所成角的余弦值即可；
解法二：综合法证明，（1）要证SC⊥BC，只要证AC⊥BC即可；
（2）要求SC与AB所成角的余弦值，通过平移找到SC与AB所成角，解三角形即可．

解答：解法一：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，
∵AC=2，BC=

13

，SB=

29

，∴B（0，

17

，0）、S（0，0，2

3

）、C（2

13 17

，

4

17

，0），

SC

=（2

13 17

，

4

17

，-2

3

），

CB

=（-2

13 17

，

13

17

，0）．
（1）∵

SC

•

CB

=0，∴SC⊥BC．
（2）设SC与AB所成的角为α，
∵

AB

=（0，

17

，0），

SC

•

AB

=4，|

SC

||

AB

|=4

17

，
∴cosα=

17

17

，即为所求．

解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC．
（2）如图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，
连接SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角．
∵四边形ABCD是平行四边形，CD=

17

，SA=2

3

，SD=

SA2+AD2

=

12+13

=5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=

17

17

，即为所求．

点评：考查利用空间向量证明垂直和求夹角和距离问题，以及面面垂直的判定定理，体现 了转化的思想方法，l利用综合法求异面直线所成的角，关键是找出这个角，把空间角转化为平面角求解，体现了转化的思想，属中档题．