Question

5．已知函数$f（x）=sin（\sqrt{3}x+ϕ）（0＜ϕ＜π）$，f′（x）为f（x）的导函数．若g（x）=f（x）+f′（x）为奇函数，求φ的值．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，求出g（x）的表达式，结合函数奇偶性的定义建立方程关系即可．

解答 解：因为$f'（x）=\sqrt{3}cos（\sqrt{3}x+ϕ）$，
所以g（x）=sin（$\sqrt{3}$x+φ）+$\sqrt{3}$cos（$\sqrt{3}$x+φ）=2sin（$\sqrt{3}$x+φ+$\frac{π}{3}$）…（3分）
因为g（x）为奇函数，
所以φ+$\frac{π}{3}$=kπ…（7分），
即φ=kπ-$\frac{π}{3}$，
因为0＜ϕ＜π，所以$ϕ=\frac{2π}{3}$…（10分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数的导数公式进行计算求出函数的解析式以及利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．