Question

17．椭圆$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1的两个焦点分别是F₁、F₂，点P是椭圆上任意一点，PF₁⊥PF₂，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 通过椭圆方程可知|F₁F₂|=12，通过椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=20，进而（|PF₁|+|PF₂|）²=400，通过PF₁⊥PF₂可知$|P{F}_{1}{|}^{2}$+$|P{F}_{2}{|}^{2}$=144，通过作差、利用三角形面积公式计算即得结论．

解答 解：依题意，|F₁F₂|=12，且|PF₁|+|PF₂|=20，
∴（|PF₁|+|PF₂|）²=400，①
∵PF₁⊥PF₂，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}$+$|P{F}_{2}{|}^{2}$=$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$=144，②
①-②：2|PF₁|•|PF₂|=256，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{256}{4}$=64，
∴△F₁PF₂的面积为64．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．