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已知函数f(x)=
1+lnx
x

(Ⅰ)若函数f(x)在区间(m,m+
1
3
)(m>0)上存在极值,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)设g(x)=
1+x
a(1-x)
[xf(x)-1],若对任意x∈(0,1)恒有g(x)<-2,求实数a的取值范围.
考点:利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值
专题:导数的综合应用
分析:(Ⅰ)求出函数的极值,在探讨函数在区间 (m,m+
1
3
)(其中a>0)上存在极值,寻找关于m的不等式,求出实数m的取值范围;
(Ⅱ)先求导,再构造函数h(x)=lnx+
2a(1-x)
1+x
,求出h(x)的最大值小于0即可.
解答: 解:(Ⅰ)因为函数f(x)=
1+lnx
x

所以f′(x)=-
lnx
x2
(x>0).极值点为f′(x)=0解得x=1,
当0<x<1时,f'(x)>0;
当x>1时,f'(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在x=1处取得极大值.
故m<1<m+
1
3
,解得
2
3
<m<1.
即实数m的取值范围为(
2
3
,1).
(Ⅱ)由题意知,a≠0,且g(x)=
1+x
a(1-x)
lnx,因为x∈(0,1),所以
1+x
1-x
lnx<0,
当a<0时,g(x)>0,不合题意,
当a>0时,由g(x)<-2,可得lnx+
2a(1-x)
1+x
<0恒成立,
设h(x)=lnx+
2a(1-x)
1+x
,则hmax(x)<0,
∴h′(x)=
x2+(2-4a)x+1
x(1+x)2

设t(x)=x2+(2-4a)x+1,△=(2-4a)2-4=16a(a-1).
(1)当0<a≤1时,△≤0,此时:t(x)≥0,h'(x)≥0,所以h(x)在(0,1)内单调递增,又h(1)=0,
所以h(x)<h(1)=0.所以0<a≤1符合条件
(2)当a>1时,△>0,注意到t(0)=1>0,t(1)=4(1-a)<0,所以存在x0∈(0,1),使得t(x0)=0,于是对任意x∈(x0,1),t(x)<0,h'(x)<0.则h(x)在(x0,1)内单调递减,又h(1)=0,所以当x∈(x0,1)时,h(x)>0,不合要求,
综合(1)(2)可得0<a≤1
点评:本题考查极值的应用,应用满足条件的实数的取值范围的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意构造法和分类讨论法的合理运用.
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