Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2+2a)x，a∈R．
（1）当a=-2时，求f（x）在闭区间[-1，1]上的最大值与最小值；
（2）若线段AB：y=2x+3（0≤x≤2）与导函数y=f'（x）的图象只有一个交点，且交点在线段AB的内部，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求函数的最大值与最小值，通过列表格的方法研究原函数的单调性及在端点处和极值处的函数值的大小；
（2）先将导函数与线段方程联立，得到一个二次函数g（x），此函数在区间（0，2）内只有一根，即g（0）•g（2）＜0，即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）当a=-2时，f(x)=

1

3

x3+2x2．（1分）
求导得f'（x）=x²+4x=x（x+4）．（2分）．
令f'（x）=0，解得：x=-4或x=0．（3分）
列表如下：（6分）

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	5 3	↘	0	↗	7 3

所以，f（x）在闭区间[-1，1]上的最大值是

7

3

，最小值是0．（7分）
（2）y=f'（x）=x²-2ax+a²+2a．（8分）
联立方程组

y=x2-2ax+a2+2a y=2x+3

（9分）
得x²-2（a+1）x+a²+2a-3=0．（10分）
设g（x）=x²-2（a+1）x+a²+2a-3，则方程g（x）=0在区间（0，2）内只有一根，
相当于g（0）•g（2）＜0，即（a²+2a-3）•（a²-2a-3）＜0，（12分）
解得-3＜a＜-1或1＜a＜3．（14分）

点评：考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力以及函数和方程的综合运用能力，对于两个函数的交点问题，一般是将两个函数联立，转化成方程根的个数问题．