Question

（09年丰台区期末理）（13分）

       直四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，∠ADC = 90°，△ABC为等边三角形，且AA₁ = AD = DC

= 2 。

       （Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁；

（Ⅱ）求二面角B―AC₁―C的大小；

（Ⅲ）设M是线段BD上的点，当DM为何值时，D₁M⊥平面A₁C₁D。

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为 AD = DC ， AB = BC

              可得       BD⊥AC  （垂直平分线）           ………… 1分

              又CC₁⊥平面ABCD，AC为AC₁平面ABCD上的射影…2分

              所以       BD⊥AC₁                                   …………… 3分

       （或因为AD = DC ，可得BD⊥AC（垂直平分线），CC₁⊥平面   

ABCD有CC₁⊥BD）

              所以       BD⊥平面ACC₁                         …………… 4分

（Ⅱ）设AC∩BD = O，BD⊥平面ACC₁，过O作OH⊥AC₁，垂足为H，连接BH，则

BH⊥AC₁，∠OHB为二面角B―AC₁―C的平面角      ……………… 7分

              在Rt△OBH中，OB =，OH =tan∠OHB = 3 ………… 8分

              故    二面角B―AC₁―C的大小为arctan3 ………………………… 9分

       （Ⅲ）在BD上取点M，使OM = OD，连接AM，CM，……………  10分

              因为∠ADC = 90°，AD = AC 又OD⊥AC 且OA = OC，CM = AM = AD

              所以       四边形AMCD是一个正方形       ………………………… 11分

              有D₁M⊥A₁D，D₁M⊥A₁C₁D₁M⊥平面A₁C₁D，此时DM =

              故    当DM =，有D₁M⊥平面A₁C₁D ……………………… 13分