Question

若直角三角形ABC所在平面外一点P到点A，B，C等距离，P到面ABC的距离为b，且一直角边长为2a，则P到另一直角边的距离为

a2+b2

．

Answer 1

分析：利用射影定理，可知，若三角形所在平面外一点到三角形的三个定点距离相等，则该点在平面内的射影为三角形的外心，又因为三角形ABC为直角三角形，外心位于斜边中点，利用三垂线定理和中位线的性质，可得若连接BC中点D与O点，则直角三角形POD的斜边为所求，在解直角三角形即可．

解答：解：如图，设直角三角形ABC中，∠B为直角，AB=2a，
设P点在平面ABC中的摄影为点O，∵点P到点A，B，C等距离，∴OA=OB=OC
又∵△ABC为直角三角形，∴O为斜边AC的中点，PO=b
取BC中点D，连接DO，则DO∥AB，且，DO=

1

2

AB，∴DO=a，且DO⊥AB，
连接PD，
∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AB，又∵DO⊥AB，∴AB⊥PD
∴PD为P点到BC的即为所求．
在Rt△POD中，PD²=PO²+DO²，∴PD=

a2+b2

故答案为：

a2+b2

．

点评：本题主要在立体图形中考查了射影定理，三垂线定理的综合应用，综合考查了学生的理解力，空间想象力，以及计算能力．