Question

5．已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设各项均不为0的数列{b_n}中，所有满足b_i•b_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{b_n}的变号数，令${b_n}=1-\frac{a}{a_n}$（n∈N^*），求数列{b_n}的变号数；
（3）设数列{c_n}满足：${c_n}=\sum_{i=1}^n{\frac{1}{{{a_i}•{a_{i+1}}}}}$，试探究数列{c_n}是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，知△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．由此能求出f（x）的表达式．
（2）由S_n=n²-4n+4，最后根据通项与前n项和的关系求解即可，即可得到得${b_n}=\left\{\begin{array}{l}-3，（n=1）\\ 1-\frac{4}{2n-5}．（n≥2）\end{array}\right.$，可得根据b_i•b_i+1＜0可知，当n≥5时，恒有a_n＞0，前四项求出，则易得变号的数．
（3）利用裂项求和得到c_n，再根据数列的单调性得到最小项的值

解答 解（1）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素
∴△=a²-4a=0解得a=0或a=4，
当a=0时函数f（x）=x²在（0，+∞）递增，不满足条件②
当a=4时函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，满足条件②
综上得a=4，即f（x）=x²-4x+4，
（2）由（1）知${S_n}={n^2}-4n+4={（n-2）^2}$
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1，（n=1）\\ 2n-5．（n≥2）\end{array}\right.$由题设可得${b_n}=\left\{\begin{array}{l}-3，（n=1）\\ 1-\frac{4}{2n-5}．（n≥2）\end{array}\right.$，
∵b₁=-3＜0，b₂=1+4=5＞0，b₃=-3＜0，
∴i=1，i=2都满足b_i•b_i+1＜0，
∵当n≥3时，${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{4}{2n-5}-\frac{4}{2n-3}=\frac{8}{（2n-5）（2n-3）}$＞0
即当n≥3时，数列{b_n}递增，
∵${b_4}=-\frac{1}{3}$＜0，由$1-\frac{4}{2n-5}＞0$⇒n≥5，可知i=4满足b_i•b_i+1＜0，
∴数列{b_n}的变号数为3．
（3）∵${c_n}=\sum_{i=1}^n{\frac{1}{{{a_i}•{a_{i+1}}}}}$=$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，
由（2）可得：${c_n}=-1+（-1）+\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-5}-\frac{1}{2n-3}）]$，
=$-2+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n-3}）=\frac{4-3n}{2n-3}$=$\frac{{-\frac{3}{2}（2n-3）-\frac{1}{2}}}{2n-3}=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2（2n-3）}$，
∵当n≥2时数列{c_n}递增，∴当n≥2时，c₂=-2最小，
又∵c₁=-1＞c₂，
∴数列{c_n}存在最小项c₂=-2．

点评 本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了函数的零点，数列的通项与前n项和间的关系，以及构造数列，研究其性质等问题，综合性较强，属中档题．