Question

与抛物线y²=x有且仅有一个公共点，并且过点（1，1）的直线方程为

x-2y+1=0或y=1

．

Answer 1

分析：当k存在时，设过点（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1，代入抛物线y²=x，得k²x²+（2k-2k²-1）x+k²-2k+1=0，由直线与与抛物线y²=x有且仅有一个公共点，解得k=

1

2

，故直线方程为x-2y+1=0．当k不存在时，过点（1，1）的直线方程为y=1，也满足条件．

解答：解：当k存在时，设过点（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1，
代入抛物线y²=x，得
k²（x-1）²+2k（x-1）+1=x，
整理，得k²x²+（2k-2k²-1）x+k²-2k+1=0，
∵直线与与抛物线y²=x有且仅有一个公共点，
∴△=（2k-2k²-1）²-4k²（k²-2k+1）=0，
整理，得4k²-4k+1=0，解得k=

1

2

，
∴直线方程为y=

1

2

（x-1）+1，即x-2y+1=0．
当k不存在时，过点（1，1）的直线方程为y=1，也满足条件．
∴所求的直线方程为：x-2y+1=0或y=1．
故答案为：x-2y+1=0或y=1．

点评：本题考查直线方程的求法，具体涉及到抛物线的简单性质、根的判别式、直线与抛物线的位置关系等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．