Question

已知k∈R，函数f（x）=a^x+k•b^x（a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1）
（1）已知函数y=x+

1

x

(x＞0)在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．若a=2，b=

1

2

，k=1，求函数f（x）的单调区间．
（2）若实数a，b满足ab=1．求k的值，使得函数f（x）具有奇偶性．（写出完整解题过程）

Answer 1

分析：（1）将a，b的值代入，得到f(x)=2x+

1

2x

，换元，令t=2^x，根据y=t+

1

t

(t＞0)的单调区间判断函数的单调区间．
（2）根据奇函数偶函数的概念，代入f（x），化简整理，求得k的值．

解答：解：（1）当a=2，b=

1

2

，k=1时，函数f(x)=2x+

1

2x

…（1分）
令t=2^x（t＞0），则原函数变为y=t+

1

t

(t＞0)
由条件知，当t∈（0，1]时，y单调递减．此时x∈（-∞，0]，且t=2^x在（-∞，0]上单调递增．
所以有函数f(x)=2x+

1

2x

在（-∞，0]上单调递减．…（3分）
当t∈[1，+∞）时，y单调递增．此时x∈[0，+∞），且t=2^x在[0，+∞）上单调递增．
所以有函数f(x)=2x+

1

2x

在（-∞，0]上单调递增．…（3分）
综上，f(x)=2x+

1

2x

在（-∞，0]上单调递减，在（-∞，0]上单调递增． …（1分）
（2）由题意，ab=1，所以有

1

a

=b，

1

b

=a
①若f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），即a^-x+kb^-x=-（a^x+kb^x），
即(

1

a

)x+k(

1

b

)x=-(ax+kbx)，得b^x+ka^x=-（a^x+kb^x），
整理得（1+k）（b^x+a^x）=0，所以有1+k=0，得k=-1…（3分）
②若f（x）为偶函数，则有f（-x）=f（x），即a^-x+kb^-x=a^x+kb^x，
即(

1

a

)x+k(

1

b

)x=ax+kbx，得b^x+ka^x=a^x+kb^x，所以得k=1…（3分）
综上有，k=-1时，f（x）为奇函数，k=1时，f（x）为偶函数．…（1分）

点评：本题考查了复合函数的单调性以及函数的奇偶性，中间用到了换元法，是中档题．