Question

6．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）满足下列条件：
（1）f（x）的图象向左平移π个单位时第一次和原图象重合；
（2）对任意的x∈R都有$f（x）≤f（\frac{π}{6}）=2$成立．
则：（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若锐角△ABC的内角B满足f（B）=1，且∠B的对边b=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω，由题意可求A，利用正弦函数的性质可得2×$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合范围0≤φ＜π，可求φ，即可得解函数解析式．
（Ⅱ）由$2sin（2B+\frac{π}{6}）=1$，可求$∠B=\frac{π}{3}$，结合△ABC是锐角三角形，可求范围$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，由正弦定理可得$a=\frac{bsinA}{sinB}=\frac{2sinA}{{\sqrt{3}}}，c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{{2sin（{\frac{2π}{3}-A}）}}{{\sqrt{3}}}$，利用三角函数恒等变换的应用化简周长，利用正弦函数的性质即可得解其取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得：ω=2，
∵对任意的x∈R都有$f（x）≤f（\frac{π}{6}）=2$成立，
∴x=$\frac{π}{6}$时，f（x）有最大值2，可得：A=2，
∵2×$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
又∵0≤φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）f（B）=1，
∴$2sin（2B+\frac{π}{6}）=1$，
∴$∠B=\frac{π}{3}$，
∵△ABC是锐角三角形，
∴$0＜A＜\frac{π}{2}，0＜C=\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴△ABC中，由正弦定理可得$a=\frac{bsinA}{sinB}=\frac{2sinA}{{\sqrt{3}}}，c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{{2sin（{\frac{2π}{3}-A}）}}{{\sqrt{3}}}$，
∴$l=\frac{2sinA}{{\sqrt{3}}}+\frac{{2sin（{\frac{2π}{3}-A}）}}{{\sqrt{3}}}+1=2sin（{A+\frac{π}{6}}）+1$，
∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$l∈（{1+\sqrt{3}，3}]$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．