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【题目】已知三棱锥中,为等腰直角三角形,平面,且分别为的中点.

1)求证:直线平面

2)求锐二面角的余弦值.

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】

1)设的中点为,连接,通过证明四边形为平行四边形,即可由线线平行推证线面平行;

2)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别求得两个平面的法向量,由法向量的夹角与二面角平面角的关系,即可容易求得结果.

1)设的中点为,连接

四边形为平行四边形,

,又平面平面

平面.即证.

2)因为,且平面

平面

故可得

故以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系

如下图所示:

平面

平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为

则由,即

,则

由图知二面角为锐角,

二面角的余弦值为

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】轴正半轴上一点做直线与抛物线交于两点,且满足,过定点与点做直线与抛物线交于另一点,过点与点做直线与抛物线交于另一点.设三角形的面积为,三角形的面积为.

1)求正实数的取值范围;

2)连接两点,设直线的斜率为

(ⅰ)当时,直线轴的纵截距范围为,则求的取值范围;

(ⅱ)当实数在(1)取到的范围内取值时,求的取值范围.

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【题目】已知函数

1)当时,若处的导数相等,证明:

2)若有两个不同的零点,证明:

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【题目】新高考取消文理科,实行“3+3”,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人(把年龄在[1545)称为中青年,年龄在[4575)称为中老年),并把调查结果制成如表:

1)请根据上表完成下面2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?

附:K2.

2)现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人,再从这8人中随机抽取2人进行深入调查,求事件A:“恰有一人年龄在[4555)”发生的概率.

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【题目】已知点,点A是直线上的动点,过作直线,线段的垂直平分线与交于点.

1)求点的轨迹的方程;

2)若点是直线上两个不同的点,且的内切圆方程为,直线的斜率为,求的取值范围.

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【题目】若无穷数列满足:存在,对任意的,都有为常数),则称具有性质

1)若无穷数列具有性质,且,求的值

2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,判断是否具有性质,并说明理由.

3)设无穷数列既具有性质,又具有性质,其中互质,求证:数列具有性质

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【题目】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃B点表示四月的平均最低气温约为5℃下面叙述不正确的是 ( )

A. 各月的平均最低气温都在0℃以上

B. 七月的平均温差比一月的平均温差大

C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同

D. 平均最高气温高于20℃的月份有5

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【题目】2019年末,武汉出现新型冠状病毒(肺炎疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,目前没有特异治疗方法.防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从27日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,某社区将本社区的排查工作人员分为两个小组,排查工作期间社区随机抽取了100户已排查户,进行了对排查工作态度是否满意的电话调查,根据调查结果统计后,得到如下的列联表.

是否满意

组别

不满意

满意

合计

16

34

50

2

45

50

合计

21

79

100

1)分别估计社区居民对组、组两个排查组的工作态度满意的概率;

2)根据列联表的数据,能否有的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关?

附表:

附:

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【题目】已知函数.

1)判断函数在区间上的零点的个数;

2)记函数在区间上的两个极值点分别为,求证:.

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