Question

已知函数f(x)=ln(e^x+1)—ax.

(Ⅰ)设a＞0,讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)当a=9时,若△ABC的三个顶点A、B、C都在函数y=f(x)的图像上，且横坐标成等差数列，求证：△ABC为钝角三角形.

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知f′(x)=

当a≥1时,f′(x)＜0,y=f(x)在R单调递减；

当0＜a＜1时,解f′(x)＞0得(1-a)(ex+1)＞1即e^x＞-1+  ∴x＞ln

∴当0＜a＜1时,y=f(x)在(1n,+∞)内单调递增；在(-∞,In)内单调递减

(Ⅱ)当a=9时,f(x)=ln(ex+1)-9x在(-∞,+∞)上单调递减

设A(x₁,f(x₁)),B(x₂,f(x₂)),C(x₃,f(x₃))不妨设x₁＜x₂＜x₃

∴=(x₁-x₂，f(x₁)-f(x₂))，=(x₃-x₂，f(x₃)-f(x₂))

又∵·=(x₁-x₂)(x₃-x₂)+(f(x₁)-f(x₂))(f(x₃)-f(x₂))

又由f(x)的单调性知：

x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f(x₁)- f(x₂)＞0，f(x₃)-f(x₂)＜0

∴＜0   ∴cos∠ABC=＜0

∴△BAC为钝角三角形