Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x），
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）若α角是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）把已知条件等号左边2α+β变为（α+β）+α，把等号右边β变为（α+β）-α，然后两边分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，合并后把弦化为切得到tan（α+β）=2tanα，再把等号左边利用两角和的正切函数公式化简后，把tanα=x，tanβ=y代入即可得到y与x的表达式；（2）由α是三角形的最小内角得到α大于0小于等于

π

3

，则tanα=x就大于0小于等于

3

，得到f（x）大于0，可设g(x)=2x+

1

x

，利用基本不等式求出g（x）的最小值，即为f（x）的最大值，即可得到f（x）的值域．

解答：解：（1）由sin（2α+β）=3sinβ，得sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]，
sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=2tanα，
由tanα=x，tanβ=y，则

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=2tanα，即

x+y

1-xy

=2x，
∴y=

x

1+2x2

，即f（x）=

x

1+2x2

．
（2）∵α角是一个三角形的最小内角，∴0＜α≤

π

3

，0＜x≤

3

，
设g(x)=2x+

1

x

，则g(x)=2x+

1

x

≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时取等号），
故函数f（x）的值域为(0，

2

4

]．

点评：考查学生灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，会求函数的值域．此题的突破点是角度的变换．