Question

（2011•孝感模拟）已知函数f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1，g(x)=x2-2mx+4
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x₁∈（0，2），总存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的在求单调区间时要注意函数的定义域；
（Ⅱ） 由题意可知f（x）的最小值不小于g（x）的最小值，根据二次函数的增减性即可得到g（x）的最小值，再根据（Ⅰ）求出的f（x）的单调区间，根据f（x）的增减性即可求出f（x）的最小值，进而列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．

解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-

1

4

-

3

4x2

=

-x2+4x-3

4x2

=

-(x-1)(x-3)

4x2

，
由f′（x）＞0得，1＜x＜3，
由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，3）；单调递减区间为（0，1），（3，+∞）；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，1）上递减，在区间（1，2）上递增，
∴函数f（x）在区间（0，2）上的最小值为f（1）=-

1

2

，
由于“对任意x₁∈（0，2），总存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂）”等价于“g（x）在区间[1，2]上的最小值不大于f（x）在区间（0，2）上的最小值-

1

2

”
即g（x）_min≤-

1

2

，（*）
又g（x）=x²-2mx+4，x∈[1，2]，
∴①当m＜1时，g（x）_min=g（1）=5-2m＞0与（*）式矛盾，
②当m∈[1，2]时，g（x）_min=4-m²≥0，与（*）式矛盾，
③当m＞2时，g（x）_min=g（2）=8-4m≤-

1

2

，
解得m≥

17

8

，
综上知，实数m的取值范围是[

17

8

，+∞）．

点评：本题是中档题．考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，