Question

3．如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．
（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅱ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接PO，证明PO⊥平面ABC，求出PO，求出底面面积，即可求解三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅱ）设G是OC的中点，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz．求出平面BOE的法向量，求出$\overrightarrow{FG}$，通过数量积为0，证明直线与平面平行．

解答 解：连接PO
∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC
∵平面PAC⊥平面ABC交线为AC，∴PO⊥平面ABC
∵△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴BO⊥AC
∵AC=16，∴$AB=AC=8\sqrt{2}$
∵PA=PC=10∴PO=6
∴${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{ABC}}•PO$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}×8\sqrt{2}×8\sqrt{2}）×6$=128

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知PO⊥平面ABC，BO⊥AC
以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz．
则O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），
由题意得，G（0，4，0），因$\overrightarrow{OB}$=（8，0，0），$\overrightarrow{OE}$=（0，-4，3），
因此平面BOE的法向量为：$\overrightarrow{n}$=（0，3，4），$\overrightarrow{FG}$=（-4，4，-3）
得$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FG}=0$，又直线FG不在平面BOE内，
因此有FG∥平面BOE．

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．