Question

23、在矩形纸片内取n（n∈N^*）个点，连同矩形的4个顶点共（n+4）个点，这（n+4）个点中无三点同在一直线上，以这些点作三角形的顶点，把矩形纸片剪成若干个三角形纸片，把这些三角形纸片的个数记为a_n．
（1）求a₁，a₂．
（2）求数列{a_n}的递推公式．
（3）根据递推公式写出数列{a_n}的前6项．

Answer 1

分析：（1）由题意知a₁=4，a₂=6．
（2）由题意可知每增加1个点A_i剪成的三角形纸层实际增加2个，由此可知a_n=a_n-1+2（n≥2）．
（3） 把n=1，2，3，4，5，6分别代入a_n=a_n-1+2（n≥2），可以求出数列{a_n}的前6项．

解答：解：（1）a₁=4，a₂=6
（2）因为这n+4个点中无三点共线，所以每增加1个点A_i（如图，点A_i必在某一个三角形内）剪成的三角形纸层新增3个（图中的1，2，3）但减少了原来的1个，实际增加2个，所以的递推公式是a_n=a_n-1+2（n≥2）．
（3） a₁=4，a₂=a₁+2=4+2=6，
a₃=a₂+2=6+2=8
a₄=a₃+2=8+2=10
a₅=a₄+2=10+2=12
a₆=a₅+2=12+2=14

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意观察分析能力和归纳总结能力的培养．