Question

8．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F₁（-2，0），点B（2，$\sqrt{2}$）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），由椭圆的左焦点F₁（-2，0），
则c=2，a²-b²=4，
由B（2，$\sqrt{2}$），代入椭圆方程：$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1$，
解得a²=8，b²=4，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）由题意可知：A（-2$\sqrt{2}$，0），F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），
则$\frac{{x}_{0}^{2}}{8}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$，AF所在直线方程$\frac{y}{{y}_{0}}$=$\frac{x+2\sqrt{2}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，取x=0，得y=$\frac{-2\sqrt{2}{y}_{0}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，
∴N（0，$\frac{-2\sqrt{2}{y}_{0}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$），同理求得，M（0，$\frac{-2\sqrt{2}{y}_{0}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$）．
则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{x}_{0}^{2}}$），
半径r=$\frac{8{y}_{0}}{8-{x}_{0}^{2}}$，
圆的方程为x²+（y-$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{x}_{0}^{2}}$）²=$\frac{64{y}_{0}^{2}}{（8-{x}_{0}^{2}）^{2}}$=$\frac{16}{{y}_{0}^{2}}$，
即x²+（y+$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}}{{y}_{0}}$）²=$\frac{16}{{y}_{0}^{2}}$，取y=0，得x=±2．
∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题．