Question

已知：f（x）=log₃

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞），是否存在实数a，b，使f（x）同时满足下列三个条件：
（1）在（0，1]上是减函数，
（2）在[1，+∞）上是增函数，
（3）f（x）的最小值是1．
若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：由题意可得log₃

1+a+b

1

=1，解得a+b=2①，由函数的单调区间，设0＜x₁＜x₂≤1，由f（x₁）＞f（x₂）可得b≥1，同理可得b≤1，进而b=1，代入①式可得a值．

解答：解：∵f（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
∴x=1时，f（x）取最小值1，即log₃

1+a+b

1

=1，解得a+b=2，①
设0＜x₁＜x₂≤1，则f（x₁）＞f（x₂），即

x12+ax1+b

x1

＞

x22+ax2+b

x2

恒成立，
移项通分并化简可得

(x1-x2)(x1x2-b)

x1x2

＞0恒成立，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，∴x₁x₂-b＜0恒成立，∴b≥1，
设1≤x₃＜x₄，则f（x₃）＜f（x₄）恒成立，即

(x3-x4)(x3x4-b)

x3x4

＜0恒成立，
∵x₃-x₄＜0，x₃x₄＞0，∴x₃x₄-b＞0恒成立，∴b≤1，
综上可得b=1，代入①式可得a=1，
故存在a=b=1满足题意．

点评：本题考查函数的单调性和值域，涉及恒成立问题，属中档题．