Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1， ）．过椭圆E内一点P（1， ）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足 ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ= ．

（1）求椭圆E的方程；
（2）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（m1，n1）、N（m2，n2），则 ，

两式相减 ，

故a2=3b2

当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，

∵ ， ，则 ，解得 ，

故点A（或C）的坐标为 ．

代入椭圆方程 ，得

a2=3，b2=1，

所以方程为

（2）解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）

由于 ，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），

…①

同理 可得 …②

由①②得： …③

将点A、B的坐标代入椭圆方程得 ，

两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

于是3（y1+y2）kAB=﹣（x1+x2）…④

同理可得：3（y3+y4）kCD=﹣（x3+x4）

于是3（y3+y4）kAB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴kAB=kCD）

所以3λ（y3+y4）kAB=﹣λ（x3+x4）…⑤

由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]kAB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]

把③代入上式得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），

解得： ，

当λ变化时，kAB为定值， ．

【解析】（1）将M和N点坐标代入椭圆方程，根据斜率公式求得kMN=1，求得a和b的关系，当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，求得A点坐标，代入椭圆方程，即可求得a和b，求得椭圆方程；（2）设出A、B、C和D点坐标，由向量共线， ，及A和B在椭圆上，利用斜率公式，kAB=kCD ， 求得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），即可求得kAB为定值．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．