Question

已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面AEF；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证PB⊥平面AEF，只要证PB垂直于平面AEF内的两条相交直线即可，可转化为证明PB垂直于AE，可证AE垂直于平面PBC，结合已知条件，利用线面垂直的判定进行证明；
（Ⅱ）以A为坐标原点，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，然后利用平面法向量所成的角求二面角的平面角．

解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，
∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥面PAC，
而AE?PAC，∴BC⊥AE，又PA=AC，点E是PC的中点，∴AE⊥PC，
又AE⊥BC，BC∩PC=C，∴AE⊥面PBC，而PB?面PBC，AE⊥PB，又EF⊥PB，AE⊥BP，AE∩EF=E，∴PB⊥平面AEF；
（Ⅱ）解：以A为坐标原点，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
∵PA=AC=BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0）．

AB

=(1，1，0)，

BC

=(-1，0，0)，

PB

=(1，1，-1)．
设平面PAB的一个法向量为

m

=(x1，y1，z1)，
则由

m • AB =0 m • PB =0

，得

x1+y1=0 x1+y1-z1=0

，取y₁=-1，得x₁=1，z₁=0，
∴

m

=(1，-1，0)．
再设平面PBC的一个法向量为

n

=(x2，y2，z2)，
则由

n • PB =0 n • BC =0

，得

x2+y2-z2=0 -x2=0

，取z₂=1，得y₂=1，
∴

n

=(0，1，1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

-1

2 × 2

=-

1

2

．
∴二面角A-PB-C的大小为60°．

点评：本题考查了线面垂直的判定，考查了利用平面法向量求二面角的平面角，考查了学生的空间想象能力和计算能力，是中档题．