Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）两点．则：（I） y₁ y₂=

-8

；（Ⅱ）三角形ABF面积的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：根据题意，抛物线y²=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）两点，设AB：my=x-2，（k≠0），与抛物线方程联立消去x化为关于y的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用S_△ABF=

1

2

×1×|y₁-y₂|，及|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2+32

即可得出．

解答：解：根据题意，抛物线y²=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）两点，
设AB：my=x-2，（k≠0），联立

my=x-2 y2=4x

化为y²-4my-8=0，
∵直线与抛物线有两个不同的交点，∴△=16m²+32＞0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8．
S_△ABF=

1

2

×1×|y₁-y₂|，
∵|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

16m2+32

≥4

2

，当且仅当m=0时取等号．
∴S△ABF≥

1

2

×4

2

=2

2

．
故答案分别为-8，2

2

．

点评：本题考查了直线与抛物线的相交位置关系转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．