Question

已知f（x）=ln（x+1），f（x）的反函数为f^-1（x）．
（I）求g（x）=f（x）-f^-1（x）的单调区间；
（II）若对任意x＞0，不等式Inf^-1（x）-f（e^x）＜

4

3

x-a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的反函数为f^-1（x）．求出g（x）=f（x）-f^-1（x）的解析式，然后求出函数的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0求出函数的减区间．
（II）构造函数h（x）=

4

3

x+f（e^x）-lnf^-1（x）=

4

3

x+ln（e^x+1）-ln（e^x-1），求出其最小值，令a小于其最小值即可．

解答：解：（I）由y=ln（x+1），得x=e^y-1，∴f^-1（x）=e^x-1，x∈R．…（1分）
∴g（x）=ln（x+1）-e^x+1，且x＞-1，∴g′（x）=

1

x+1

-e^x．…（3分）
当x＞0时，

1

x+1

＜1＜e^x，∴g′（x）＜0；…（4分）
当-1＜x＜0时，

1

x+1

＞1＞e^x，∴g′（x）＞0．…（5分）
∴g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）．…（6分）
（II）设h（x）=

4

3

x+f（e^x）-lnf^-1（x）=

4

3

x+ln（e^x+1）-ln（e^x-1），x＞0…（7分）
∵h′（x）=

4

3

+

ex

ex+1

-

ex

ex-1

=

2

3

×

(ex+1)(ex-2)

e2x-1

，…（9分）
当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，ln2）上是减函数；    …（10分）
当x＞ln2时，h′（x）＞0，∴h（x）在（ln2，+∞）上是增函数．    …（11分）
∴h（x）_min=h（ln2）=

4

3

ln2+ln3=ln6

3	2

，∴a＜ln6

3	2

．…（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立的问题，求解此类问题的关键是运用导数的计算公式正确求出导数，第二问的恒成立问题关键是正确转化为求最值的问题，转化后易解．本题运算量较大，易因马虎导致某一步运算出错，导致后续的运算结果全错．运算变形时要严谨．