Question

已知抛物线y²=4x与椭圆

x2

9

+

y2

m

=1有共同的焦点F₂．
（1）求m的值；
（2）若P是两曲线的一个公共点，F₁是椭圆的另一个焦点，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求cosα•cosβ的值；
（3）求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线方程求得其焦点即椭圆的焦点坐标，进而根据a和b，c的关系求得m．
（2）先设出P的坐标，代入椭圆和抛物线方程消去y，求得P点横坐标，根据x=-1是y²=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F₁．设点P到抛物线y²=4x的准线的距离为PN，则可知|PF₂|=|PN|根据抛物线定义可知|PN|=x₁+1进而求得|PF₂|和|PF₁|，过点P作PP₁⊥x轴，垂足为P₁，分别在Rt△PP₁F₁中而后Rt△PP₁F₂中求得cosα和cosβ，最后答案可得．
（3）根据（2）中的P的横坐标求得|PP₁|，进而根据三角形面积公式求得答案．

解答：解：（1）依题意可知抛物线焦点为（1，0），
∴椭圆的半焦距c=1，即9-m=1，m=8
（2）设P（x₁，y₁）
由

x 12 9 + y 12 8 =1 y 2 1 =4x1

得 2x²₁+9x₁-18=0，∴x₁=

3

2

，或x₁=-6（舍）．
∵x=-1是y²=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F₁．设点P到抛物线y²=4x的准线的距离为PN，则|PF₂|=|PN|．
又|PN|=x₁+1=

5

2

，
∴|PF₂|=

5

2

，|PF₁|=2a-

5

2

=

7

2

．
过点P作PP₁⊥x轴，垂足为P₁，在Rt△PP₁F₁中，cosα=

5

7

在Rt△PP₁F₂中，cos（л-β）=

1

5

，cosβ=-

1

5

，∴cosαcosβ=-

1

7

．
（3）∵x₁=

3

2

，∴|PP₁|=

6

，
∴S_△PF1F2=

1

2

|F₁F₂|•|P₁P₂|=

6

．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生对圆锥曲线知识的综合把握．