【题目】如图,矩形中,,为的中点,现将与折起,使得平面及平面都与平面垂直.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)分别取的中点,由线面垂直性质定理可得,又三角形和全等,所以,四边形为平行四边形,根据线面平行的判定定理,即得证;
(2)以为原点,,为,正半轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法即可求出二面角的正弦值.
(1)如图所示:
分别取,的中点,,连结,,,
则,,
平面与平面都与平面垂直,
平面,平面,
由线面垂直的性质定理得,
,四边形是平行四边形,,
平面,平面.
(2)如图,以为原点,,为,正半轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,则,,平面的法向量,
设平面的法向量,
则,取,得.
设二面角的平面角为,由图知为钝角,
.
∴二面角的余弦值为,则正弦值为.
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【题目】在直角坐标系中,已知圆的参数方程是(为参数).以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程是,射线:与圆的交点为、两点,与直线的交点为.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)求线段的长.
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【题目】植物园拟建一个多边形苗圃,苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙.现有两种方案:
方案① 多边形为直角三角形(),如图1所示,其中;
方案② 多边形为等腰梯形(),如图2所示,其中.
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积,并从中确定使苗圃面积最大的方案.
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【题目】2020年全球爆发新冠肺炎,人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼吸道症状有:发热、咳嗽、气促和呼吸困难等,严重时会危及生命.随着疫情的发展,自2020年2月5日起,武汉大面积的爆发新冠肺炎,政府为了及时收治轻症感染的群众,逐步建立起了14家方舱医院,其中武汉体育中心方舱医院从2月12日开舱至3月8日闭仓,累计收治轻症患者1056人.据部分统计该方舱医院从2月26日至3月2日轻症患者治愈出仓人数的频数表与散点图如下:
日期 | 2.26 | 2.27 | 2.28 | 2.29 | 3.1 | 3.2 |
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
出仓人数 | 3 | 8 | 17 | 31 | 68 | 168 |
根据散点图和表中数据,某研究人员对出仓人数与日期序号进行了拟合分析.从散点图观察可得,研究人员分别用两种函数①②分析其拟合效果.其相关指数可以判断拟合效果,R2越大拟合效果越好.已知的相关指数为.
(1)试根据相关指数判断.上述两类函数,哪一类函数的拟合效果更好?(注:相关系数与相关指数R2满足,参考数据表中)
(2)①根据(1)中结论,求拟合效果更好的函数解析式;(结果保留小数点后三位)
②3月3日实际总出仓人数为216人,按①中的回归模型计算,差距有多少人?
(附:对于一组数据,其回归直线为
相关系数
参考数据:
|
|
| ||||||
3.5 | 49.17 | 15.17 | 3.13 | 894.83 | 19666.83 | 10.55 | 13.56 | 3957083 |
,,,.
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【题目】如图,在三棱柱中,平面,为边上一点,,.
(1)证明:平面平面.
(2)若,试问:是否与平面平行?若平行,求三棱锥的体积;若不平行,请说明理由.
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【题目】已知数列是等差数列,数列是等比数列,且,的前n项和为.若对任意的恒成立.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若数列满足问:是否存在正整数,使得,若存在求出的值,若不存在,说明理由;
(3)若存在各项均为正整数公差为的无穷等差数列,满足,且存在正整数,使得成等比数列,求的所有可能的值.
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【题目】垃圾分类,是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.2019年6月25日,生活垃圾分类制度入法.到2020年底,先行先试的46个重点城市,要基本建成垃圾分类处理系统;其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖.某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组,对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道.该机构从600名员工中进行筛选,筛选方法:每位员工测试,,三项工作,3项测试中至少2项测试“不合格”的员工,将被认定为“暂定”,有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试,两项,如果这两项中有1项以上(含1项)测试“不合格”,将也被认定为“暂定”,每位员工测试,,三项工作相互独立,每一项测试“不合格”的概率均为.
(1)记某位员工被认定为“暂定”的概率为,求;
(2)每位员工不需要重新测试的费用为90元,需要重新测试的总费用为150元,除测试费用外,其他费用总计为1万元,若该机构的预算为8万元,且该600名员工全部参与测试,问上述方案是否会超过预算?请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=xex-alnx(无理数e=2.718…).
(1)若f(x)在(0,1)单调递减,求实数a的取值范围;
(2)当a=-1时,设g(x)=x(f(x)-xex)-x3+x2-b,若函数g(x)存在零点,求实数b的最大值.
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