Question

5．如图，在四面体P-ABC中，PA=PB=PC=4，点O是点P在平面ABC上的投影，且tan∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则四面体P-ABC的外接球的体积为8$\sqrt{6}π$．

Answer 1

分析 由已知得tan∠APO=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而AO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PO=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，AB=AC=BC=2$\sqrt{2}$，设M为四面体P-ABC的外接球的球心，则R²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+（$\frac{4\sqrt{6}}{3}-R$）²，从而求出R=$\sqrt{6}$，由此能求出四面体P-ABC的外接球的体积．

解答 解：∵在四面体P-ABC中，PA=PB=PC=4，点O是点P在平面ABC上的投影，且tan∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠APO=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设AO=$\sqrt{2}$k，则PO=2k，k＞0．
∴PO²+AO²=6k²=16，∴k=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，AO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PO=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴AB=AC=BC=2$\sqrt{2}$，
如图，设M为四面体P-ABC的外接球的球心，
则AM=PM=R，OM=$\frac{4\sqrt{6}}{3}-$R，
∴R²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+（$\frac{4\sqrt{6}}{3}-R$）²，
解得R=$\sqrt{6}$，
∴四面体P-ABC的外接球的体积为V=$\frac{4}{3}π×（\sqrt{6}）^{3}$=8$\sqrt{6}$π．
故答案为：8$\sqrt{6}$π．

点评 本题考查四面体的外接球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．