Question

7．在极坐标系中，直线l的方程为ρcos（θ$+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系（两坐标系取相同的长度单位），曲线C：x²+y²=4在坐标伸缩变换ρ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，作用下变为曲线C₁．
（1）求直线l的倾斜角α和曲线C₁的方程；
（2）判断直线l和曲线C₁是否相交．若相交，求出弦长；若不相交，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把直线l的极坐标方程化为直角坐标；伸缩变换ρ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲线C即可得出．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解出，再利用两点之间的距离公式即可得出弦长．

解答 解：（1）直线l的方程为ρcos（θ$+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ-ρsinθ）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴直角坐标方程为：x-y=1，即y=x-1，∴tanα=1，解得$α=\frac{π}{4}$．
曲线C：x²+y²=4在坐标伸缩变换ρ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，作用下变为曲线C₁：（x′）²+（2y′）²=4，化为$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{4}+（{y}^{′}）^{2}$=1．
∴直线l的倾斜角$α=\frac{π}{4}$，曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为5x²-8x=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
∴直线l和曲线C₁相交．弦长=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（-1-\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、直线与椭圆的位置关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．