Question

12．已知a＞0，设命题p：函数 y=log_ax 在R上单调递增；  
命题q：不等式ax²-ax+1＞0对?x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：利用指数函数单调性可得：a＞1．对于命题q：a=0（舍去），或a＞0且△＜0．由“p∧q”为假，“p∨q”为真，可得p、q中必有一真一假．

解答 解：对于命题p：∵函数y=a^x在R上单调递增，∴a＞1．
对于命题q：不等式ax²-ax+1＞0对?x∈R恒成立，∴a=0（舍去），或a＞0且△=a²-4a＜0，解得0＜a＜4．
∴0＜a＜4．
∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，
∴p、q中必有一真一假． 
①当p真，q假时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≥4}\end{array}\right.$，得a≥4．
②当p假，q真时，$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤1}\\{0＜a＜4}\end{array}\right.$，得0＜a≤1．
故a的取值范围为（0，1]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、指数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．