精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作直线l1交抛物线于A、B两点.O为坐标原点.
(1)过点A作抛物线的切线交y轴于点C,求线段AC中点M的轨迹方程;
(2)若l1倾斜角为30°,则在抛物线准线l2上是否存在点E,使得△ABE为正三角形,若存在,求出E点坐标,若不存在,说明理由.
分析:(1)先设出过点A的抛物线的切线方程,与抛物线方程联立,利用△=0,求出k,再代回切线方程,求C点坐标,这样就可找到AC中点的坐标,进而求出中点M的轨迹方程.
(2)假设存在符合题意的点E.由已知l1:y-
p
2
=
3
3
x  联立抛物线方程有:x2=2p(
3
3
+
p
2
),故可求A,B的坐标.欲使△ABE为正△,则kBE不存在.从而可知不存在符合条件的点E.
解答:解:(1)设A(x1,y1),过点A的切线方程为y=k(x-x1)+y1
y=k(x-x1)+y1
x2=2py
得x2-2pkx+2pkx1-2py1=0
令△=4p2k2-4(2pkx1-2py1)=0
解得k=
1
p
x1

∴切线方程为y=
1
p
x1(x-x1)+y1

令x=0,得y=-
x12
p
+y1=-2y1+y1=-y1

∴线段AC中点M为(x,0)
∴点M的轨迹方程为y=0(x≠0)
(2)假设存在符合题意的点E.
由已知l1:y-
p
2
=
3
3
x  联立抛物线方程有:x2=2p(
3
3
+
p
2

∴x2-
2
3
3
px-p2
=0
∴x1=-
3
p
3
,x2=
3
p  
故A(-
3
3
p
p
6
),B(
3
p,
3
2
p)
∵△ABE为正△
∴kAE=-
3
3

∴AE:y-
p
6
=-
3
3
(x+
3
3
p
)  即y=-
3
3
x-
p
6

准线l2:y=-
p
2
∴E(-
p
2
3
p)
欲使△ABE为正△,则kBE不存在.即xB=xE不符合
∴不存在符合条件的点E.
点评:本题以抛物线为载体,考查直线与抛物线的位置关系,解题的关键是直线与抛物线方程联立,转化为一元二次方程求解.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12
2
,则P=
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

直线AB过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,并与其相交于A、B两点,Q是线段AB的中点,M是抛物线的准线与y轴的交点,O是坐标原点.
(Ⅰ)求
MA
MB
的取值范围;
(Ⅱ)过A、B两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于N点,求证:
MN
OF
=0,
NQ
OF

(Ⅲ)若p是不为1的正整数,当
MA
MB
=4P2,△ABN的面积的取值范围为[5
5
,20
5
]时,求该抛物线的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设直线l过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,且与该抛物线交于A、B两点,l的斜率为k,点C(0,t),当k=0,t=1+2
3
时,△ABC为等边三角形.
(Ⅰ)求抛物线的方程.
(Ⅱ)若不论实数k取何值,∠ACB始终为钝角,求实数t的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•武汉模拟)过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F做倾斜角为30°的直线,与抛物线交于A、B两点(点A在y轴左侧),则
|AF|
|BF|
的值为(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案