Question

【题目】已知函数 是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．
（1）求a和b的值．
（2）说明函数g（x）的单调性；若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
（3）设 ，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由g（0）=0得，a=1，

则 ，

经检验g（x）是奇函数，

故a=1，

由f（﹣1）=f（1）得，则 ，

故 ，

经检验f（x）是偶函数

∴a=1，

（2）解：∵ ，且g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．

∴由g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，

得g（t2﹣2t）＞﹣g（2t2﹣k）=g（﹣2t2+k），

∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，t∈[0，+∞）恒成立

即3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立

令F（x）=3t2﹣2t，在[0，+∞）的最小值为

∴

（3）解：h（x）=lg（10x+1），

h（lg（10a+9））=lg[10lg（10a+9）+1]=lg（10a+10）

则由已知得，存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，

而g（x）在（﹣∞，1]单增，

∴

∴

∴

又

又∵

∴

∴

【解析】（1）由函数 是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数，可得g（0）=0，f（﹣1）=f（1），进而可得a和b的值．（2）g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．若g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，则3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，令F（x）=3t2﹣2t，求其最值，可得答案；（3）h（x）=lg（10x+1），若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，则 ，解得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数奇偶性的性质的理解，了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．