Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，并且过点P（2，-1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率可得a，b的关系，化椭圆方程为x²+4y²=4b²．结合C过点P（2，-1），可得b²的值，进一步求得a²的值，则椭圆方程可求；
（2）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入向量公式得答案．

解答 （1）解：由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，即a²=4b²，
∴椭圆C的方程可化为x²+4y²=4b²．
又椭圆C过点P（2，-1），
∴4+4=4b²，得b²=2，则a²=8．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）证明：由题意，设直线PA的方程为y+1=k（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\\{y=k（x-2）-1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-8（2k²+k）x+16k²+16k-4=0．
∴$2{x}_{1}=\frac{16{k}^{2}+16k-4}{1+4{k}^{2}}$，即${x}_{1}=\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}$．
∵直线PQ平分∠APB，即直线PA与直线PB的斜率互为相反数，
设直线PB的方程为y=1=-k（x-2），同理求得${x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}$．
又$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+1=k（{x}_{1}-2）}\\{{y}_{2}+1=-k（{x}_{2}-2）}\end{array}\right.$，∴y₁-y₂=k（x₁+x₂）-4k．
即${y}_{1}-{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k=k\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-4k$=$-\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}-{x}_{2}=\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$．
∴直线AB的斜率为${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{\frac{-8k}{1+4{k}^{2}}}{\frac{16k}{1+4{k}^{2}}}=-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．