Question

15．空间四点A，B，C，D满足|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{BC}$|=3，|$\overrightarrow{CD}$|=4，|$\overrightarrow{DA}$|=7，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值为19．

Answer 1

分析 将向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DA}$转化为以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$的式子，计算|$\overrightarrow{AB}$|²-|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CD}$|²-|$\overrightarrow{DA}$|²，又$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OB}$），展开即可得到所求值．

解答 解：|$\overrightarrow{AB}$|²-|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CD}$|²-|$\overrightarrow{DA}$|²=（$\overrightarrow{AB}$）²-（$\overrightarrow{BC}$）²+（$\overrightarrow{CD}$）²-（$\overrightarrow{DA}$）²
=（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）²-（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）²+（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$）²-（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OD}$）²
=2（$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$）
=4-9+16-49=-38，
即有$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-19，
又$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OB}$）
=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$=19．
故答案为：19．

点评 本题考查向量的加减运算和数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．