Question

（2009•大连二模）已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时，an=

an-1-4 (an-1＞4) 5-an-1 (an-1≤4)

（I）当a=200时，填写下列表格；

N	2	3	51	200
an

（II）当a=200时，求数列{a_n}的前200项的和S₂₀₀；
（III）令b n=

an

(-2)n

，T_n=b₁+b₂…+b_n求证：当1＜a＜

5

3

时，T n＜

5-3a

3

．

Answer 1

分析：（I）当a=200时，利用递推式，即可得到相应结论；
（II）当a=200时，由题意知{a_n}数列的前50项成首项为200，公差为-4的等差数列，从第51项开始，奇数项均为1，偶数项均为4，分组求和，即可求数列{a_n}的前200项的和S₂₀₀；
（III）确定数列的通项，分类讨论，分组求和，即可证得结论．

解答：（I）解：由题意，

n	2	3	51	200
an	196	192	1	4

…（4分）
（II）解：当a=200时，由题意知{a_n}数列的前50项成首项为200，公差为-4的等差数列，从第51项开始，奇数项均为1，偶数项均为4．
从而S₂₀₀=

200+196+…+4

共50项

+

1+4+…+1+4

共150项

=

(200+4)×50

2

+(4+1)×

150

2

=5475．…（6分）
（III）证明：当1＜a＜

5

3

时，因为a_n=

a，n为奇数 5-a，n为偶数

，
所以bn=

an

(-2)n

=

- a 2n ，n为奇数 5-a 2n ，n为偶数

                 …（8分）
当n为偶数2k时，T_n=b₁+b₂+…+b_2k=-

a

2

+

5-a

22

-

a

23

+…+

5-a

22k

=-（

a

2

+

a

23

+…+

a

22k-1

）+（

5-a

22

+…+

5-a

22k

）
=

a 2 [1-( 1 4 )k]

1- 1 4

+

5-a 4 [1-( 1 4 )k]

1- 1 4

=

5-3a

3

[1-(

1

4

)k]
因为1＜a＜

5

3

，所以

5-3a

3

[1-(

1

4

)k]＜

5-3a

3

，…（10分）
当n为奇数2k-1时，T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1=-

a

2

+

5-a

22

-

a

23

+…+

5-a

22k-2

-

a

22k-1

＜-（

a

2

+

a

23

+…+

a

22k-1

）+（

5-a

22

+…+

5-a

22k

）
＜

5-3a

3

综上：Tn＜

5-3a

3

．…（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查不等式的证明，考查数列的求和，考查学生的计算能力，难度较大．