Question

9、一个与自然数有关的命题，若n=k（k∈N）时命题成立可以推出n=k+1时命题也成立．现已知n=10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：

③⑤

（填上所有正确命题的序号）
①n=11时该命题一定不成立；
②n=11时该命题一定成立；
③n=1时该命题一定不成立；
④至少存在一个自然数n₀，使n=n₀时该命题成立；
⑤该命题可能对所有自然数都不成立．

Answer 1

分析：本题考察的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．

解答：解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，
P（n）对n=10时该命题不成立，（否则n=11也成立）．
同理可推得P（n）对n=2，n=1也不成立．所以③正确，⑤正确
故答案为：③⑤．

点评：当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．