Question

（本小题满分14分）

    已知数列{a_n}，且x＝是函数f(x)＝a_n－1x³－3[(t＋1)a_n－a_n＋1] x＋1(n≥2)的一个极值点．数列{a_n}中a₁＝t，a₂＝t²(t＞0且t≠1) ．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）记b_n＝2(1－)，当t＝2时，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2010的n的最小值；

（3）若c_n＝，证明：( n∈N^﹡)．

Answer 1

解：（1）f ′(x)＝3a_n－1x²－3[(t＋1)a_n－a_n＋1]，

所以f ′()＝3a_n－1t－3[(t＋1)a_n－a_n＋1]＝0．

整理得：a_n＋1－a_n＝t(a_n－a_n－1) ．…………………………………………2分

当 t＝1时，{a_n－a_n－1}是常数列，得；

当 t≠1时{a_n－a_n－1}是以 a₂－a₁＝t²－t为首项， t为公比的等比数列，

所以 a_n－a_n－1＝(t²－t)·t ^n－2＝(t－1)·t ^n－1．

方法一：由上式得

(a_n－a_n－1)＋(a_n－1－a_n－2)＋…＋(a₂－a₁)＝(t－1)(t^n－1＋t^n－2＋…＋t)，

即 a_n－a₁＝(t－1)·＝tⁿ－t，

所以 a_n＝tⁿ(n≥2) ．

          又，当t＝1时上式仍然成立，故 a_n＝tⁿ(n∈N^﹡) ．………………………4分

          方法二：由上式得： a_n－tⁿ＝a_n－1－t^n－1，

所以{a_n－tⁿ}是常数列，a_n－tⁿ＝a₁－t＝0 a_n＝tⁿ(n≥2) ．

又，当t＝1时上式仍然成立，故 a_n＝tⁿ(n∈N^﹡) ．

（2）当t＝2， b_n＝＝2－．

∴S_n＝2n－(1＋＋＋…＋)＝2n－

＝2n－2(1－)＝2n－2＋2·

由S_n＞2010，得

2n－2＋2()ⁿ＞2010， n＋()ⁿ＞1006，

当n≤1005时， n＋()ⁿ＜1006，

当 n≥1006时， n＋()ⁿ＞1006，

因此 n的最小值为1006．………………………………………………8分

（3）c_n＝且c₁＝，所以

．

因为＝＝

＝≥，

所以＝．

              从而原命题得证．…………………………………………………………14分