Question

已知函数f（x）=ax³-4x+4（a∈R）在x=2取得极值．
（Ⅰ）确定a的值并求函数的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数，根据函数f（x）在x=2时有极值，可得f′（2）=0，从而可求出a的值，由导数的正负可确定函数的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，极大值为f(-2)=

28

3

，极小值为f(2)=-

4

3

，要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b在两极值之外即可．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax³-4x+4（a∈R），所以f′（x）=3ax²-4
因为函数f（x）在x=2时有极值，所以f′（2）=0，即3×4a-4=0
得  a=

1

3

，经检验符合题意，所以f(x)=

1

3

x3-4x+4所以f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）
令，f′（x）=0得，x=2，或x=-2，当x变化时f′（x），f（x）变化如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增↗	极大值	单调递减↘	极小值	单调递增↗

所以f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；f（x）的单调减区间为（-2，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=-2时，f（x）有极大值，并且极大值为f(-2)=

28

3

；
当x=2时，f（x）有极小值，并且极小值为f(2)=-

4

3

；
要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b的取值范围为(-∞，-

4

3

]∪[

28

3

，+∞)

点评：本题以函数的极值为载体，考查函数解析式的求解，考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的极值的求解，综合性强．