Question

1．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为$（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}）$，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（　　）

• A． OD⊥平面ABC
• B． 直线OB∥平面ACD
• C． 直线AD与OB所成的角是45°
• D． 二面角D-OB-A为45°

Answer 1

分析 在A中，求出$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，1），利用向量法得OD⊥平面ABC；在B中，求出平面ACD的法向量，利用向量法得到直线OB∥平面ACD不成立；在C中，求出$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{4}{3}，-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}$），利用向量法得到直线AD与OB所成的角不是45°；在D中，由得量法得到二面角D-OB-A为135°．

解答 解：在A中：∵四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为$（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}）$，O为坐标原点，
∴$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，1），
$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+0=0$，$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}+0-\frac{1}{3}$=0，
∴OD⊥AB，OD⊥AC，又AB∩AC=A，
∴OD⊥平面ABC，故A正确；
在B中：∵$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{4}{3}，-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}$），
设平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-5，1），
∵$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{n}$=-5≠0，∴直线OB∥平面ACD不成立，故B错误；
在C中：∵$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{4}{3}，-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{OB}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{-\frac{1}{3}}{1×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{6}$$≠\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线AD与OB所成的角不是45°，故C错误；
在D中：$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}$），
设平面AOB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OB}=b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OA}=a=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面AOD的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{OA}={x}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{OD}=-\frac{1}{3}{x}_{1}-\frac{1}{3}{y}_{1}-\frac{1}{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取y₁=1，得$\overrightarrow{p}$=（0，1，-1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{p}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角D-OB-A为135°，故D错误．
故选：A．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．