Question

已知抛物线C：x²=py，顶点O（0，0）焦点F（0，1）
（1）求C的方程；
（2）过F作直线交C于A、B，AO，BO交直线l：y=x-2于M，N，求|MN|的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；
（2）由题意，可A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（1）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．

解答： 解：（1）∵由抛物线C：x²=py，顶点O（0，0）焦点F（0，1）．
∴

p

4

=1，
解得p=4，
故抛物线C的方程为x²=4y，
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+1，
由

y=kx+1 x2=4y

消去y，整理得x²-4kx-4=0
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，从而有|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

k2+1

，
由

y=x-2 y= y1 x1 x

解得点M的横坐标为x_M=

2x1

x1-y1

=

2x1

x1- 1 4 x12

=

8

4-x1

，
同理可得点N的横坐标为x_N=

8

4-x2

，
所以|MN|=

2

|x_M-x_N|=

2

|

8

4-x1

-

8

4-x2

|=8

2

|

x1-x2

x1x2-4(x1+x2)+16

|=

8 2 k2+1

|4k-3|

，
令4k-3=t，t不为0，则k=

t+3

4

，
当t＞0时，|MN|=2

2

25 t2 + 6 t +1

＞2

2

；
当t＜0时，|MN|=2

2

25 t2 + 6 t +1

=2

2

( 5 t + 3 5 )2+ 16 25

≥

8 2

5

；
综上所述，当t=-

25

3

时，|MN|的最小值是

8 2

5

点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用