Question

10．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．
（1）求证：AF=FO；
（2）若CF=$\sqrt{3}$，求AD•AE的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，AC，证明△AOC为等边三角形，利用CF⊥AB，得出CF为△AOC中AO边上的中线，即可证明结论；
（2）证明B，E，D，F四点共圆，利用割线定理，求AD•AE的值．

解答 （1）证明：连接OC，AC，
∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°．
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形．
∵CF⊥AB，
∴CF为△AOC中AO边上的中线，即AF=FO．
（2）解：连接BE，
∵CF=$\sqrt{3}$，△AOC为等边三角形，∴AF=1，AB=4．
∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AFD．
∴B，E，D，F四点共圆
∴AD•AE=AB•AF=4．

点评 本题考查等边三角形的性质，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．