Question

在直角坐标系中，直线与抛物线相交于A、B两点。
（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由

Answer 1

逆命题是：设直线交抛物线于A、B两点，
如果，那么该直线过点T（3，0），该命题是一个假命题
例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），此时，直线AB的方程是，
而T（3，0）不在直线AB上

（1）证明：设过点T（3，0）的直线交抛物线于点，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与抛物线相交于点，……4分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
其中，由
得，则………………………6分
又，

综上所述，命题“如果直线过点T（3，0），那么”是真命题。……8分
（2）解：逆命题是：设直线交抛物线于A、B两点，
如果，那么该直线过点T（3，0），该命题是一个假命题……………10分
例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），此时，直线AB的方程是，
而T（3，0）不在直线AB上………………………………………………14分