Question

已知向量

m

=(1，cosωx)，

n

=(sinωx，

3

)（ω＞0），函数f(x)=

m

•

n

，且f（x）图象上一个最高点的坐标为(

π

12

，2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(

7π

12

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c是角A、B、C所对的边，且满足a²+c²-b²=ac，求角B的大小以及f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

m

=(1，cosωx)，

n

=(sinωx，

3

)（ω＞0），函数f(x)=

m

•

n

，根据向量的数量积公式，结合辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据f（x）图象上一个最高点的坐标为(

π

12

，2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(

7π

12

，-2)．我们求出函数的最值及周期，进而求出A，ω，φ值即可得到f（x）的解析式；
（2）又a²+c²-b²=ac由余弦定理及求出B的大小，进而根据三角形内角和为π确定A的范围，根据正弦函数的图象和性质即可求出f（A）的取值范围．

解答：解：（1）∵向量

m

=(1，cosωx)，

n

=(sinωx，

3

)
∴f(x)=

m

•

n

=sinωx+

3

cosωx=2(

1

2

sinωx+

3

2

cosωx)=2sin(ωx+

π

3

)．--------------------------------------（2分）
∵f（x）图象上一个最高点的坐标为(

π

12

，2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(

7π

12

，-2)．
∴

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，
∴T=π，于是ω=

2π

T

=2．---------------（5分）
所以f(x)=2sin(2x+

π

3

)．---------------------------------（6分）
（2）∵a²+c²-b²=ac，∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

-----------------------------------7-分
又0＜B＜π，∴B=

π

3

．
∴f(A)=2sin(2A+

π

3

)--------------------------------------------（8分）
∵B=

π

3

∴0＜A＜

2π

3

．于是

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴sin(2A+

π

3

)∈[-1，1]．------------------------------------------------------------（10分）
所以f（A）∈[-2，2]．------------------------------------------------------------（12分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，正弦型函数解析式的确定，余弦定理，其中（1）的关键是根据已知条件确定函数的最值及周期，进而求出A，ω，φ值，（2）的关键是根据已知的形式，选择使用余弦定理做为解答的突破口．