Question

若关于x的方程3tx²+（3-7t）x+4=0的两实根α，β满足0＜α＜1＜β＜2，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由已知中关于x的方程3tx²+（3-7t）x+4=0的两实根α，β满足0＜α＜1＜β＜2，根据方程的根与对应函数零点之间的关系，我们易得方程相应的函数在区间（0，1）与区间（1，2）上各有一个零点，此条件可转化为不等式组

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，解不等式组即可得到实数t的取值范围．

解答：解：依题意，函数f（x）=3tx²+（3-7t）x+4的两个零点α，β满足0＜α＜1＜β＜2，
且函数f（x）过点（0，4），则必有

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

即：

4＞0 3t+3-7t+4＜0 12t+6-14t+4＞0

，
解得：

7

4

＜t＜5．
故答案为：

7

4

＜t＜5

点评：本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系．其中根据方程的根与对应函数零点之间的关系，构造关于t的不等式是解答本题的关键．