Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n成立．
（1）证明：数列{3+a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n，求数列{b_n}的前n项和为B_n；
（3）数列{a_n}中是否存在构成等差数列的四项？若存在求出一组；否则说明理由．

Answer 1

解：（1）由a_n=（3n+S_n）可得S_n=2a_n-3n，故a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+3
由待定系数法得a_n+1+3=2（a_n+3）又a₁+3=6≠0
∴数列{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n+3=6×2^n-1，
∴a_n=3（2ⁿ-1）．…（4分）
（2）由（1）可得b_n=a_n=n2ⁿ-n，
∴B_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ-（1+2+3+…+n） ①
∴2B_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹-2（1+2+3+…+n） ②
①-②得，-B_n=2+（2²+2³+…+2ⁿ）+
化简可得B_n=2+．…（9分）
（3）假设数列{a_n}存在构成等差数列的四项依次为：a_m、a_n、a_p、a_q（m＜n＜p＜q）
则3（2^m-1）+3（2^q-1）=3（2ⁿ-1）+3（2^p-1）∴2^m+2^q=2ⁿ+2^p．
上式两边同除以2^m，则1+2^q-m=2^n-m+2^p-m
∵m、n、p、q∈N*，且m＜n＜p＜q，
∴上式左边是奇数，右边是偶数，相矛盾．
∴数列{a_n}不存在构成等差数列的四项．
分析：（1）由已知可得S_n=2a_n-3n，进而得a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+3，故a_n+1+3=2（a_n+3），数列{a_n+3}是等比数列，易求结果；（2）由（1）可知b_n=a_n=n2ⁿ-n，由错位相减法可解；（3）先假设存在，由题意可得2^m+2^q=2ⁿ+2^p，即1+2^q-m=2^n-m+2^p-m，推出矛盾．
点评：本题为数列的综合应用，涉及由和求通项公式，错位相减法求和，属中档题．