Question

设，若a₁+a₂+…+a_n=a₁a₂…a_n，则称集合A是集合M的n元“好集”．
（1）写出实数集R上的一个二元“好集”；
（2）是否存在正整数集合N^*上的二元“好集”？说明理由；
（3）求出正整数集合N^*的所有三元“好集”．

Answer 1

解：（1）∵-1+=（-1）×，∴．
（2）设A={a₁，a₂}是正整数集N^*上的二元“好集”，
则a₁+a₂=a₁a₂且，不妨设a₂＞a₁
则a₁=a₁a₂-a₂=a₂（a₁-1），，∵，
∴满足的a₁∈N^*不存在；
故不存在正整数集合N^*上的二元“好集”．
（3）设A={a₁，a₂，a₃}是正整数集N^*上的三元“好集”，不妨设，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃＜3a₃?a₁a₂＜3，
满足a₁a₂＜3的正整数只有a₁=1，a₂=2，代入a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃得a₃=3，
故正整数集合N^*的所有三元“好集”为{1，2，3}．
分析：根据集合中元素满足的性质a₁+a₂+…+a_n=a₁a₂…a_n，可验证{-1，}符合条件求解（1）；
对（2）可用反证法证明：在正整数集合N^*上的二元“好集”不存在；
对（3）利用不等式的放缩技巧，不妨设a₃＞a₂＞a₁，a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃＜3a₃，这样就可限制a₁、a₂的大小，从而求出符合条件的“好集”．
点评：本题借助新定义问题，考查集合中元素的互异性、确定性、无序性．