Question

某校从高一年级学生a随机抽取40名学生，将他们的期a考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如s所示的频率分布直方s．
（1）求sa实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期a考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生a随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

Answer 1

（1）由于5中所有小矩形的面积之和等于1，
所以1t×（t.tt四+t.t1+t.t2+a+t.t2四+t.t1）=1．…（1分）
解得a=t.t3．…（2分）
（2）根据频率分布直方5，成绩不低于6t分的频率为1-1t×（t.tt四+t.t1）=t.8四．…（3分）
由于该校高一年级共有学生64t人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于6t分的人数约为64t×t.8四=四44人．…（四分）
（3）成绩在[4t，四t）分数段内的人数为4t×t.t四=2人，分别记为A，B．…（6分）
成绩在[9t，1tt]分数段内的人数为4t×t.1=4人，分别记为C，D，E，F．…（7分）
若从数学成绩在[4t，四t）与[9t，1tt]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共1四种．…（9分）
如果两名学生的数学成绩都在[4t，四t）分数段内或都在[9t，1tt]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于1t．如果一个成绩在[4t，四t）分数段内，另一个成绩在[9t，1tt]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于1t．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于1t”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．…（11分）
所以所求概率为P(M)=

7

1四

．…（12分）