Question

下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是(　　)

A．f(x)=ex	B．f(x)=x3
C．f(x)=lnx	D．f(x)=sinx

Answer 1

D

设切点的横坐标为x₁,x₂,
则存在无数对互相垂直的切线,即f'(x₁)·f'(x₂)=-1有无数对x₁,x₂使之成立,
对于A由于f'(x)=e^x>0,
所以不存在f'(x₁)·f'(x₂)=-1成立;
对于B由于f'(x)=3x²≥0,
所以也不存在f'(x₁)·f'(x₂)=-1成立;
对于C由于f(x)=lnx的定义域为(0,+∞),
∴f'(x)=>0;
对于D,由于f'(x)=cosx,
所以f'(x₁)·f'(x₂)=cosx₁·cosx₂,
若x₁=2mπ,m∈Z,x₂=(2k+1)π,k∈Z,
则f'(x₁)·f'(x₂)=-1恒成立.