Question

设x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则

2

a

+

3

b

的最小值为

50

．

Answer 1

分析：先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大1，
即4a+6b=1，
∴

2

a

+

3

b

=(

2

a

+

3

b

)(4a+6b)=26+

12b

a

+

12a

b

≥26+2

12b a • 12a b

=50
当且仅当

12b

a

=

12a

b

时，

2

a

+

3

b

的最小值为50，
故答案为：50．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．