设函数h(x)=x|x|+mx+n给出下列四个命题:
①当m=0时,h(x)=0只有一个实数根;
②当n=0时,y=h(x)为偶函数;
③函数y=h(x)图象关于点(0,n)对称;
④当m≠0,n≠0时,方程h(x)=0有两个不等实根.
上述命题中,所有正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】
分析:①可根据h(x)在R上单调性和值域确定h(x)=0只有一个实数根正确;
②当n=0时,h(x)=x|x|+mx,再由函数奇偶性的定义可判断为奇函数;
③分别表示出h(x)与h(-x),然后相加得到h(x)+h(-x)=x|x|+mx+n+(-x|-x|-mx+n)=2n,即可得到函数y=h(x)图象关于点(0,n)对称,从而看判断正误;
④令m>0,n>0,然后画出函数h(x)的图象可判断方程h(x)=0有两个不等实根不正确.
解答:解:当m=0时,h(x)=
函数h(x)在R上单调递增,且值域为R,
故h(x)=0只有一个实数根正确,即①正确;
当n=0时,函数h(x)=x|x|+mx+n=x|x|+mx,所以h(-x)=-x|-x|-mx=-h(x)
∴函数h(x)为奇函数,②不正确;
∵h(x)=x|x|+mx+n,h(-x)=-x|-x|-mx+n
∴h(x)+h(-x)=x|x|+mx+n+(-x|-x|-mx+n)=2n
∴函数y=h(x)图象关于点(0,n)对称,故③正确;
当m>0,n>0时,h(x)=2+mx+n,x≥0-x2+mx+n,x<0,图象如图
h(x)=0只有1个实根,④不正确.
故选C.
点评:本土主要考查二次函数的图象和性质,考查二次函数的根的个数的判定和对称性.